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\documentclass[10pt]{article} 

\input{wang_preamble.tex}

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\usepackage{titling}
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%%文档的题目、作者与日期

%\author{王立庆（2022级数学与应用数学1班）}
\author{学号 \underline{\hspace{4cm}} 姓名  \underline{\hspace{4cm}} }
%\title{高等代数第六章：向量空间}
\title{第六章向量空间考试解答}
%\date{\vspace{-3ex}}
\renewcommand{\today}{\number\year \,年 \number\month \,月 \number\day \,日}
\date{2023年3月28日}

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\begin{document}

\maketitle

%\begin{abstract}
%%主要内容：
%第七课：数域的概念，向量空间和子空间的概念、例子、基本性质。
%
%第八课：向量组的线性相关、线性无关、极大线性无关组，向量组的等价，向量组的秩。
%
%第九课：向量空间的基和维数，两个基之间的过渡矩阵，向量的坐标，维数定理。
%
%第十课：向量空间之间的同构，矩阵的行空间、列空间、零空间，矩阵的秩，基础解系。
%
%\end{abstract}

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\begin{enumerate}

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\item %1
设 $V$ 是数域 $F$ 上的向量空间。设 $\alpha\in V$. 设 $\beta_1$ 和 $\beta_2$ 都是 $\alpha$ 的负向量。根据向量空间的公理，证明 $\beta_1=\beta_2$. 

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：由公理3，向量空间 $V$ 中存在零向量。记 $\theta$ 为 $V$ 中的零向量。由公理4中关于负向量的定义，可得
\begin{eqnarray*}
\beta_1 + \alpha &=& \theta, \\ 
\beta_2 + \alpha &=& \theta. 
\end{eqnarray*}
根据公理3（零向量的定义）、公理1（加法交换律）与公理2（加法结合律），可得
\begin{eqnarray*}
\beta_1 &=& \theta + \beta_1 \\ 
&=& (\beta_2 + \alpha) + \beta_1   \\ 
&=& \beta_2 + (\alpha + \beta_1) \\ 
&=& \beta_2 + (\beta_1 + \alpha) \\ 
&=& \beta_2 + \theta  \\ 
&=& \theta + \beta_2  \\ 
&=&  \beta_2. 
\end{eqnarray*}

}

\vspace{0.2cm}

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\item %2
设 $V$ 是数域 $F$ 上的向量空间。设 $U$ 与 $W$ 是 $V$ 的两个向量子空间。记 
$$S = \{ \alpha-\beta \mid \alpha\in U, \beta\in W  \}.$$
证明 $S$ 也是 $V$ 的向量子空间。

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：集合 $S$ 是所有形如 $\alpha-\beta$ 的向量组成的集合，其中 $\alpha$ 取遍 $U$ 中的向量，$\beta$ 取遍 $W$ 中的向量。
\begin{enumerate}
\item[(1)]  因为 $U$ 与 $W$ 都是向量子空间，所以零向量 $\theta$ 既属于 $U$, 也属于 $W$. 取 $\alpha$ 与 $\beta$ 都是 $\theta$, 可得 
$$\alpha-\beta = \theta-\theta = \theta,$$ 这是一个属于 $S$ 的向量。所以集合 $S$ 不是空集。
\item[(2)]  
\begin{enumerate}
\item  设任意 $\xi\in S, \eta\in S$, 要证明 $\xi+\eta\in S$. 
\item  因为 $\xi\in S$, 所以存在 $\alpha\in U$ 与 $\beta\in W$ 使得 $\xi=\alpha-\beta$.  
\item  因为 $\eta\in S$, 所以存在 $\gamma\in U$ 与 $\delta\in W$ 使得 $\eta=\gamma-\delta$.  
\item  所以 $\xi+\eta = (\alpha-\beta) + (\gamma-\delta) = (\alpha + \gamma) - (\beta + \delta). $  
\item  因为 $U$ 是向量子空间，所以由 $\alpha\in U$ 与 $\gamma\in U$ 可得 $\alpha + \gamma \in U$.   
\item  因为 $W$ 是向量子空间，所以由 $\beta\in W$ 与 $\delta\in W$ 可得 $\beta + \delta \in W$.  
\item  根据集合 $S$ 的定义，可得 $\xi+\eta \in S$. 
\end{enumerate}
\item[(3)]  
\begin{enumerate}
\item  设任意 $\xi\in S, k\in F$, 要证明 $k\xi\in S$. 
%\item  类似 (2) 可证。
\item  因为 $\xi\in S$, 所以存在 $\alpha\in U$ 与 $\beta\in W$ 使得 $\xi=\alpha-\beta$.  
\item  所以 $k\xi = k(\alpha-\beta) = k\alpha  - k\beta. $  
\item  因为 $U$ 是向量子空间，所以由 $\alpha\in U$ 可得 $k\alpha \in U$.   
\item  因为 $W$ 是向量子空间，所以由 $\beta\in W$ 可得 $k\beta \in W$.  
\item  根据集合 $S$ 的定义，可得 $k\xi \in S$. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}

}

\vspace{0.2cm}

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item %3
设向量组 $\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r\}$ 线性无关，而向量组 $\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r, \beta\}$ 线性相关。
证明向量 $\beta$ 可以由向量组 $\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r\}$ 线性表示。

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：记 $\theta$ 是向量空间 $V$ 的零向量。
\begin{enumerate}
\item[(1)]  因为向量组 $\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r, \beta\}$ 线性相关，所以存在不全为零的数 $k_1,k_2,\cdots,k_r,k$ 使得 
$$k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_r\alpha_r + k\beta = \theta. $$
\item[(2)]  若 $k=0$, 则有不全为零的数 $k_1,k_2,\cdots,k_r$ 使得 
$$k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_r\alpha_r = \theta.$$
这与向量组 $\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r\}$ 线性无关矛盾。
\item[(3)]  所以 $k\neq 0$. 从而可以求出 $\beta$, 
$$\beta = -\frac{k_1}{k}\alpha_1  -\frac{k_2}{k}\alpha_2 - \cdots -\frac{k_r}{k}\alpha_r.$$
\item[(4)]  所以向量 $\beta$ 可以由向量组 $\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r\}$ 线性表示。
\end{enumerate}

}

\vspace{0.2cm}

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item %4
记 $V=\mathbb{R}[x]$ 为实系数多项式全体组成的向量空间。求下述向量组生成的子空间的维数，
$$\{x+1, x^2+x, x^3+x^2,x^4+x^3\}.$$

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：
记 $V_4 \subset \mathbb{R}[x]$ 为次数小于等于4的多项式全体组成的子集。考虑同构
\begin{eqnarray*}
V_4 &\longleftrightarrow& \mathbb{R}^5, \\
a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4 &\longleftrightarrow& (a_0,a_1,a_2,a_3,a_4).
\end{eqnarray*}
于是向量组 $\{x+1, x^2+x, x^3+x^2,x^4+x^3\}$ 对应到下述矩阵的列向量组，
\begin{eqnarray*}
\begin{pmatrix}
1&0&0&0 \\ 
1&1&0&0 \\ 
0&1&1&0 \\ 
0&0&1&1 \\ 
0&0&0&1 \\ 
\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}
因为这个矩阵的秩等于4，所以它的列空间的维数等于4. 所以由原向量组 $\{x+1, x^2+x, x^3+x^2,x^4+x^3\}$ 生成的向量子空间的维数也等于4. 

}

\vspace{0.2cm}

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\item %5
证明向量组 $\{ (1,2,0), (2,3,0), (1,1,1) \}$ 是 $V=\mathbb{R}^3$ 的一个基，并求向量 $\xi = (5,6,7)$ 关于这个基的坐标。

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：
\begin{enumerate}
\item[(1)]  计算这个向量组作为列向量组的矩阵的行列式的值，可得
\begin{eqnarray*}
\det(A) = \begin{vmatrix}
1&2&1 \\
2&3&1 \\
0&0&1 \\
\end{vmatrix} = -1.
\end{eqnarray*}
所以矩阵 $A$ 的列向量组是线性无关的，所以它是 $\mathbb{R}^3$ 的一个基。

\item[(2)]  设向量 $\xi = (5,6,7)$ 关于这个基的坐标为 $(x_1,x_2,x_3)$, 即 
\begin{eqnarray*}
x_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}
+ x_2 \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}
+ x_3 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 7 \end{pmatrix}.
\end{eqnarray*}
写成矩阵乘积的形式，可得 
\begin{eqnarray*}
\begin{pmatrix} 1&2&1 \\ 2&3&1 \\ 0&0&1 \\ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 7 \end{pmatrix}.
\end{eqnarray*}
使用行初等变换求解可得
\begin{eqnarray*}
\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix}.
\end{eqnarray*}

\end{enumerate}

}

\vspace{0.2cm}

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\item %6
设 $V$ 是数域 $F$ 上的 $n$ 维向量空间。证明 $V$ 与 $F^n$ 同构。

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：取定 $V$ 的一个基 $\Phi = \{ \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\}$. 由此可以构造 $V$ 与 $F^n$ 之间的一个同构。
根据向量空间的基的定义，对任意向量 $\alpha\in V$, 存在唯一的一组数 $(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 使得 
$$\alpha = x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + \cdots + x_n\alpha_n.$$
这组数 $(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 称为向量 $\alpha$ 关于这个基 $\Phi$ 的坐标。
定义双射如下，
\begin{eqnarray*}
V &\longleftrightarrow& F^n, \\
x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + \cdots + x_n\alpha_n &\longleftrightarrow& (x_1,x_2,\cdots,x_n). 
\end{eqnarray*}
则可以验证这个双射保持两边的加法和数乘运算。因此这是向量空间之间的一个同构。

}

\vspace{0.2cm}

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\item %7
矩阵的列空间是指它的列向量组生成的向量子空间。设矩阵 $B$ 可逆。证明矩阵 $A$ 与 $AB$ 有相同的列空间。

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：将矩阵 $A$ 写成列向量组 $(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)$ 的形式，矩阵 $B$ 写成 $(b_{ij})_{n\times n}$ 的形式，可得
\begin{eqnarray*}
AB = 
\begin{pmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_n  \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 
b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ 
b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ 
\vdots & \vdots &  & \vdots \\ 
b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nn} \\ 
 \end{pmatrix} 
= 
\begin{pmatrix} \gamma_1 & \gamma_2 & \cdots & \gamma_n  \end{pmatrix},
\end{eqnarray*}
其中对 $1\le i\le n$, 向量 $\gamma_i = b_{1i}\alpha_1 +b_{2i} \alpha_2 + \cdots + b_{ni} \alpha_n$ 
是矩阵 $A$ 的列向量组 $(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)$ 的线性组合。因此在一般情况下，乘积矩阵 $AB$ 的列空间总是矩阵 $A$ 的列空间的向量子空间。

在矩阵 $B$ 可逆的时候，有 $A=(AB)B^{-1}$. 这时矩阵 $A$ 的列空间也是乘积矩阵 $AB$ 的列空间的向量子空间。
所以这时矩阵 $A$ 与 $AB$ 有相同的列空间。



}

\vspace{0.2cm}

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\end{enumerate}



\end{document}





